Matematica discreta Esempi

$\sqrt{2 n^{2} - 1}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 n^{2} - 1}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 n^{2} - 1 < 0$

Passaggio 2

Risolvi per $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 n^{2} < 1$

Passaggio 2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 n^{2} < 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 n^{2} < 1$ .

$\frac{2 n^{2}}{2} < \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 n^{2}}{2} < \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $n^{2}$ per $1$ .

$n^{2} < \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{n^{2}} < \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| n | < \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica $\sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| n | < \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 2.4.2.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.4.2.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.2.1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.2.1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.4.2.1.4.6.5

Calcola l'esponente.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.5

Scrivi $| n | < \frac{\sqrt{2}}{2}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$n \geq 0$

Passaggio 2.5.2

Nella parte in cui $n$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$n < 0$

Passaggio 2.5.4

Nella parte in cui $n$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} n < \frac{\sqrt{2}}{2} & n \geq 0 \\ - n < \frac{\sqrt{2}}{2} & n < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.6

Trova l'intersezione di $n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $n \geq 0$ .

$0 \leq n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.7

Risolvi $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ dove $n < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- n}{- 1} > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{n}{1} > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.2.2

Dividi $n$ per $1$ .

$n > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Passaggio 2.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$ .

$n > - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.7.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ come $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$n > - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.7.2

Trova l'intersezione di $n > - \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $n < 0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < 0$

Passaggio 2.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Notazione degli intervalli:

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5